حل دستگاه های چندجمله ای با استفاده از روش زیرمنتج

یکی از ابزارهای کاربردی برای حل دستگاه های معادلات چندجمله ای در هندسه ی جبری محاسباتی مفهومی به نام منتج است. از جبرخطی می دانیم که یک دستگاه شامل ‎‎n‎‎‎‎‎‎‏ معادله ی خطی ‎n‎‎‎‎‎‏ مجهولی جواب غیربدیهی دارد اگر و تنها اگر دترمینان ماتریس ضرایب آن صفر باشد. در واقع‏، منتج تعمیم دترمینان برای چندجمله ای های غیرخطی است. برای دو چندجمله ای تک متغیره‏، یک ماتریس بر حسب ضرایب آن ها معرفی می کنیم که دارای دترمینان صفر است اگر و تنها اگر این چندجمله ای ها جواب داشته باشند (دترمینان این ماتریس را منتج دستگاه می نامیم). سپس با تعمیم این روش‏، محکی ارائه می کنیم که آیا دستگاهی همگن شامل ‎n+1‎‎‎‎‎‎‏ معادله ی ‎n+1‎‎‎‎‎‏ مجهولی جواب نابدیهی دارد یا خیر. در ادامه‏، با معرفی روش زیرمنتج‏، به حل و بررسی دستگاه های معادلات چندجمله ای صفربعدی (دستگاه هایی با تعداد جواب های متناهی) می پردازیم. برای این منظور‏، مجموعه ای از چندجمله ای ها را به دست می آوریم که ایده آل آفین دستگاه متناظر را تولید می کنند و جواب های این دستگاه جدید همان جواب های دستگاه داده شده است با این تفاوت که به راحتی می توان این دستگاه جدید را حل کرد.